Question

已知f(α)=

sin(α- π 2 )cos( 3π 2 -α)tan(7π-α)

tan(-α-5π)sin(α-3π)

．
（1）化簡(jiǎn)f（α）；
（2）若tan(α-

3π

2

)=-2，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（1）把f（α）解析式中分子的第一個(gè)因式利用正弦函數(shù)為奇函數(shù)化簡(jiǎn)后，再利用誘導(dǎo)公式變形，第二個(gè)因式中的角

3π

2

-α變?yōu)闉棣?

π

2

-α，利用誘導(dǎo)公式變形，第三個(gè)因式利用誘導(dǎo)公式變形，分母第一個(gè)因式根據(jù)正切函數(shù)為奇函數(shù)化簡(jiǎn)，然后利用誘導(dǎo)公式變形，第二個(gè)因式先利用正弦函數(shù)為奇函數(shù)，再把角3π-α變形為2π+π-α，利用誘導(dǎo)公式變形，約分后即可得到最簡(jiǎn)結(jié)果；
（2）把已知式子中的角提取-1后，變?yōu)棣?（

π

2

-α），利用誘導(dǎo)公式及正切函數(shù)為奇函數(shù)化簡(jiǎn)，得到tan（

π

2

-α）的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切，并利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，得到sinα和cosα的關(guān)系式，記作①，同時(shí)得到sinα和cosα同號(hào)，即α為第一或第三象限的角，根據(jù)同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系得到sin²α+cos²α=1，記作②，聯(lián)立①②，求出cosα的值，代入化簡(jiǎn)后的f（α）的式子中，即可求出f（α）的值．

解答：解：（1）f（α）=

-sin( π 2 -α)cos(π+ π 2 -α)tan(7π-α)

[-tan(5π+α)][-sin(2π+π-α)]

…（2分）
=

-cosα[-cos( π 2 -α)]tan(-α)

(-tanα)(-sinα)

=

-cosα(-sinα)(-tanα)

(-tanα)(-sinα)

=

-cosαsinαtanα

tanαsinα

=-cosα；…（4分）
（2）∵tan(α-

3π

2

)=-2，
∴-tan（

3π

2

-α）=-tan（π+

π

2

-α）=-tan（

π

2

-α）=-2，
∴tan(

π

2

-α)=2，
∴

sin( π 2 -α)

cos( π 2 -α)

=

cosα

sinα

=2，
即sinα=

1

2

cosα①，…（6分）
可見sinα與cosα同號(hào)，α為第一或第三象限角，
又sin²α+cos²α=1②，…（8分）
聯(lián)立①②可得：cosα=±

2 5

5

，
當(dāng)α為第一象限角時(shí)，f（α）=-cosα=-

2 5

5

；…（10分）
當(dāng)α為第三象限角時(shí)，f（α）=-cosα=

2 5

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦、余弦及正切函數(shù)的奇偶性，熟練掌握基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意利用sinα與cosα同號(hào)，判斷出α為第一或第三象限角．