Question

已知a≤

1-x

x

+lnx，對(duì)任意x∈[

1

2

，2]恒成立，則a的最大值

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=

1-x

x

+lnx，依題意，a≤f（x）_min，利用導(dǎo)數(shù)法可求得f（x）=

1-x

x

+lnx的極小值，也是最小值，從而可得a的最大值．

解答： 解：設(shè)f（x）=

1-x

x

+lnx，
f′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
∵a≤

1-x

x

+lnx，對(duì)任意x∈[

1

2

，2]恒成立，
∴a≤f（x）_min，
令f′（x）=0，得：x=1；
當(dāng)

1

2

≤x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）=

1-x

x

+lnx單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）=

1-x

x

+lnx單調(diào)遞增；
∴f（x）_min=f（1）=0，
∴a≤0，
∴a的最大值為：0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查構(gòu)造函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與導(dǎo)數(shù)法求極值的綜合應(yīng)用，求得f（x）=

1-x

x

+lnx的最小值是關(guān)鍵，屬于中檔題．