Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（1）證明數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（2）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n對(duì)n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,函數(shù)恒成立問題,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知推導(dǎo)出a₁=4，an=2an-1+2n，由此能證明{

an

2n

}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
（2）由

an

2n

=n+1，得a_n=（n+1）•2ⁿ，2n²-n-3＜（5-λ）a_n等價(jià)于5-λ＞

2n-3

2n

，記bn=

2n-3

2n

，由此能求出λ的取值范圍．

解答： （1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a1-22，解得a₁=4，
Sn=2an-2n+1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-2n，
∴an=2an-1+2n，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=

2an-1+2n

2n

-

an-1

2n-1

=

an-1

2n-1

+1-

an-1

2n-1

=1，
又

a1

21

=2，
∴{

an

2n

}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知

an

2n

=n+1，即a_n=（n+1）•2ⁿ，
∵a_n＞0，∴2n²-n-3＜（5-λ）a_n等價(jià)于5-λ＞

2n-3

2n

，
記bn=

2n-3

2n

，n≥2時(shí)，

bn+1

bn

=

2n-1 2n+1

2n-3 2n

=

2n-1

4n-6

，
∴n≥3時(shí)，

bn+1

bn

＜1，（b_n）_max=b₃=

3

8

，
∴5-λ＞

3

8

，λ＜5-

3

8

=

37

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．