Question

9．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{e}$為平面向量，若|$\overrightarrow{e}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值為3，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小值為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 因?yàn)閨$\overrightarrow{e}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，所以$\overrightarrow{e}$•|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=3，設(shè)$\overrightarrow{e}$與|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的夾角為θ[0，π），利用三角函數(shù)的有界限求其最小值．因?yàn)閨$\overrightarrow{e}$|=1，不妨設(shè)坐標(biāo)為$\overrightarrow{e}$（1，0），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$=2，可設(shè)為$\overrightarrow{a}$（1，m），$\overrightarrow$（2，n），利用，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，求出n，m的關(guān)系，即可得到$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小值．

解答 解：由題意：∵|$\overrightarrow{e}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$=2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，
∴$\overrightarrow{e}$•|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=3，
設(shè)$\overrightarrow{e}$與|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的夾角為θ[0，π），
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|$•|\overrightarrow{e}|•cosθ$=3，
那么：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\frac{3}{cosθ}$（θ∈[0，π））
當(dāng)cosθ=1時(shí)，即θ=0°時(shí)，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值為3．
∵|$\overrightarrow{e}$|=1，不妨設(shè)坐標(biāo)為$\overrightarrow{e}$（1，0），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=1，$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$=2，可設(shè)為$\overrightarrow{a}$（1，m），$\overrightarrow$（2，n），
那么：$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-1，m-n）
∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2
∴$\sqrt{1+（m-n）^{2}}=2$
∴（m+n）²=3+4mn≥0
∴$mn≥-\frac{3}{4}$
當(dāng)且僅m=-n=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2+mn$≥2-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$
故答案為：3，$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)的結(jié)合，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．