Question

（本題滿分13分）
如圖一，平面四邊形關(guān)于直線對稱，。
把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于。對于圖二，

（Ⅰ）求；
（Ⅱ）證明：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）． 

試題分析：（I）取BD的中點E，先證得∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，再在△ACE中利用余弦定理即可求得AC；
（II）欲證線面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，證明AC⊥BC，AC⊥CD即可；
（III）欲求直線AC與平面ABD所成角，先結(jié)合（I）中的垂直關(guān)系作出直線AC與平面ABD所成角，最后利用直角三角形中的邊角關(guān)系即可求出所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）取的中點，連接，
由，得：                                      
就是二面角的平面角，……………2分

在中，
…………………………………4分                                                                                                                    
（Ⅱ）由，
 
，  又平面．……………8分
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面
∴平面平面平面平面，
作交于，則平面，
就是與平面所成的角．……13分
方法二：設(shè)點到平面的距離為，
∵             
 于是與平面所成角的正弦為  ．
方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標系， 則．
設(shè)平面的法向量為，則
， ，
取，則， 于是與平面所成角的正弦即
． 
點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用定義法得到二面角是該試題的突破口，并能結(jié)合三角形的與線訂立的到邊AC的長度。熟練運用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。