分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,確定函數(shù)的單調(diào)性,從而求出滿足條件的a的范圍即可.
解答 解:(1)a=-12時,f(x)=(x-2)ex-12x2+x,
f′(x)=(x-1)(ex-1),
令f′(x)>0,解得:x>1或x<0,
令f′(x)<0,解得:0<x<1,
∴f(x)在(-∞,0)遞增,在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增;
(2)f′(x)=(x-1)ex+2ax+1,f″(x)=xex+2a,
①a≤0時,f″(x)≤0,f′(x)在(-∞,0]遞減,
∴f′(x)≥f′(0)=0,f(x)在(-∞,0]遞增,
∴f(x)≤f(0)=-2,成立,
②(i)a>0時,f′″(x)=(x+1)ex,
∴f″(x)在(-∞,-1)遞減,在(-1,0]遞增,
∴f″(x)min=f″(-1)=-1e+2a,
(ii)a≥12e時,f″(x)>0,f′(x)在(-∞,0)遞增,
∴f′(x)<f′(0)=0,f(x)在(-∞,0]遞減,
∴f(x)min=f(0)=-2,f(x)≥-2,不合題意,
(iii)由(ii)得:
0<a<12e時,?x1,x2∈(-∞,0],
使得f(x)在(-∞,x1)遞增,在(x1,x2)遞減,在(x2,0]遞增,
有f(x1)>-2,不合題意,
綜上,a≤0.
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道綜合題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
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