Question

6．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且f（x+1）-f（x）=4x-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題條件，利用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)解析式的一般形式，代入利用恒等式知識可求；（2）由二次函數(shù)圖象特點，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，應(yīng)有其圖象對稱軸在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)造不等式，解不等式即可．

解答 解：（1）由已知可設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
∴f（1）=a+b+c=1①，
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=4x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{a+b=-2}\end{array}\right.$，解得：a=2，b=-4，
代入①式得c=3，
∴函數(shù)解析式為：f（x）=2x²-4x+3；
（2）由（1）可知，函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為x=1，要使函數(shù)不單調(diào)，則2a＜1＜a+1，則$0＜a＜\frac{1}{2}$．
即a的范圍是：$（0，\frac{1}{2}）$．

點評 本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題．