Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-1-x．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=ax²，a∈R．
（�。┳C明：當a=

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時，y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有唯一的公共點；
（ⅱ）若當x＞0時，y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求最值就是先求導，然后判斷單調(diào)性，繼而求得最小值．
（Ⅱ）（�。┕�共點的個數(shù)等于h（x）=e^x-1-x-

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x²零點的個數(shù)．
（ⅱ）y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的上方，令h（x）=f（x）-g（x）即h（x）=e^x-1-x-ax²＞0恒成立．再求參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）求導數(shù)，得f′（x）=e^x-1．
令f′（x）=0，解得x=0．
當x＜0時，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
當x＞0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
故f（x）在x=0處取得最小值f（0）=0．
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-x-ax²，則h′（x）=e^x-1-2ax．
（�。┊攁=

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時，y=e^x-1-x的圖象與y=ax²的圖象公共點的個數(shù)等于h（x）=e^x-1-x-

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x²零點的個數(shù)．
∵h（0）=1-1=0，
∴h（x）存在零點x=0．
由（Ⅰ），知e^x≥1+x，
∴h′（x）=e^x-1-x≥0，
∴h（x）在R上是增函數(shù)，
∴h（x）在R上有唯一的零點．
故當a=

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時，y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有唯一的公共點．
（ⅱ）當x＞0時，y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的上方
?當x＞0時，f（x）＞g（x），即h（x）=e^x-1-x-ax²＞0恒成立．
由（Ⅰ），知e^x≥1+x（當且僅當x=0時等號成立），
故當x＞0時，e^x＞1+x．
h′（x）=e^x-1-2ax＞1+x-1-2ax=（1-2a）x，
從而當1-2a≥0，即a≤

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時，h′（x）≥0（x＞0），
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又h（0）=0，
于是當x＞0時，h（x）＞0．
由e^x＞1+x（x≠0），可得e^-x＞1-x（x≠0），
從而當a＞

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時，h′（x）=e^x-1-2ax＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故當x∈（0，ln2a）時，h′（x）＜0，
此時h（x）在（0，ln2a）上是減函數(shù)，又h（0）=0，
于是當x∈（0，ln2a）時，h（x）＜0．
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，

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]．

點評：本題主要考查了導數(shù)與函數(shù)的最值關(guān)系，以及函數(shù)的零點的存在性問題和參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．