分析 (Ⅰ)連AC交BD于G,連FG,推導(dǎo)出AE∥FG,由此能證明AE∥平面BDF.
(Ⅱ)分別以DC、DA、DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B-DE-C的余弦值.
解答 證明:(Ⅰ)連AC交BD于G,連FG.
∵ABCD是正方形,∴G是AC中點(diǎn).
∵F是CE是中點(diǎn),∴AE∥FG.
∵AE?平面BDF,F(xiàn)G?平面BDF,∴AE∥平面BDF.…(6分)
(Ⅱ)解:分別以DC、DA、DD1所在直線為x,y,z軸,
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(0,2,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),
A1(0,2,2),E(0,1,2),C(2,0,0),
∴→DE=(0,1,2),→DC=(2,0,0),→DB=(2,2,0),
設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量→m=(x,y,z),
則{→m•→DE=y+2z=0→m•→DB=2x+2y=0,取z=-1,得→m=(−2,2,−1),
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量→n=(a,b,c),
則{→n•→DE=b+2c=0→n•→DC=2a=0,取c=-1,得→n=(0,2,−1),
cos<→m,→n>=→m•→n|→m|•|→n|=√53,
∴二面角B-DE-C的余弦值為√53.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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