Question

1．直線l過點P（4，1），且在x軸與y軸上的截距分別為a，b．
（1）若a＞0，b＞0，求ab取得最小值時的直線l的方程；
（2）若a＞0，b＞0，求a+b取得最小值時的直線l的方程；
（3）求點P到直線（2m-1）x+（m+3）y+（11-m）=0的最大距離．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，把點P（4，1）代入可得：$\frac{4}{a}+\frac{1}$=1，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）由（1）可得：a+b=（a+b）$（\frac{4}{a}+\frac{1}）$=5+$\frac{4b}{a}+\frac{a}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（3）由直線（2m-1）x+（m+3）y+（11-m）=0化為：m（2x+y-1）+（-x+3y+11）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-1=0}\\{-x+3y+11=0}\end{array}\right.$，解出可得此直線經(jīng)過定點M．可得：點P到直線（2m-1）x+（m+3）y+（11-m）=0的最大距離=|PQ|．

解答 解：（1）設(shè)直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，把點P（4，1）代入可得：$\frac{4}{a}+\frac{1}$=1，∵a＞0，b＞0，∴1≥2$\sqrt{\frac{4}{a}×\frac{1}}$，化為：ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a=4b=8時取等號．
此時直線l的方程為：$\frac{x}{8}+\frac{y}{2}$=1，化為：x+4y-8=0．
（2）由（1）可得：a+b=（a+b）$（\frac{4}{a}+\frac{1}）$=5+$\frac{4b}{a}+\frac{a}$≥5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}×\frac{a}}$=9，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=6時取等號，此時直線l的方程為：$\frac{x}{6}+\frac{y}{3}$=1，化為x+2y-6=0．
（3）由直線（2m-1）x+（m+3）y+（11-m）=0化為：m（2x+y-1）+（-x+3y+11）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-1=0}\\{-x+3y+11=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，∴此直線經(jīng)過定點M（2，-3）．
∴點P到直線（2m-1）x+（m+3）y+（11-m）=0的最大距離=|PM|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（1+4）^{2}}$=$\sqrt{29}$．

點評 本題考查了直線的截距式、基本不等式的性質(zhì)、直線經(jīng)過定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．