Question

已知橢圓的中心在原點O，焦點在x軸上，點A求橢圓的方程；
（Ⅱ）若平行于CO的直線l和橢圓交于M，N兩個不同點，求△CMN面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，左頂點A（，AC⊥CO，|AC|=|CO|．a²=12，C（）再由C在橢圓上知b²=4，由此能導出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若CO的斜率為-1，設直線l的方程為y=-x+m，代入得4x²-6mx+3m²-12=0，由題設條件能導出|MN|==，又C到直線l的距離d==，所以△CMN的面積S===2，由此能求出直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，
∵左頂點A（，AC⊥CO，|AC|=|CO|．
∴a²=12，C（），（第三象限的點相同，可以不考慮）（2分）
又∵C在橢圓上，∴，∴b²=4，（4分）
∴橢圓的標準方程為．（5分）
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若CO的斜率為-1，
則設直線l的方程為y=-x+m，代入得4x²-6mx+3m²-12=0，（6分）
（7分）
∴|MN|==，（8分）
又C到直線l的距離d==，（9分）
∴△CMN的面積S==（10分）
=2，（11分）
當且僅當m²=16-m²時取等號，此時m=滿足題中條件，（12分）
∴直線l的方程為．（13分）
當點C在第三象限時，由對稱可知：直線l的方程為（14分）
點評：本題考查點的軌跡方程，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．