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【題目】已知拋物線，圓，點為拋物線上的動點，為坐標原點，線段的中點的軌跡為曲線.

（1）求拋物線的方程；

（2）點是曲線上的點，過點作圓的兩條切線，分別與軸交于兩點.

求面積的最小值.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意可得，設中點坐標，表示出點，將其代入到拋物線方程中，即可得到拋物線的方程；（Ⅱ）由題意可設切線方程為：，進而得到切線與x軸的交點為，由圓心到切線方程的距離為半徑，得到，由韋達定理，可得到的函數關系式，利用函數的單調性可求出面積最小值.

試題解析：

（Ⅰ）設，則點在拋物線上，

所以，即，所以曲線C的方程為：．

（Ⅱ）設切線方程為：，令y=0，解得，

所以切線與x軸的交點為，圓心(2，0)到切線的距離為，

∴，

整理得：，

設兩條切線的斜率分別為，

則，

∴

記，則，

∵，

∴在上單增，∴，∴，

∴面積的最小值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示的平面圖形中，ABCD是邊長為2的正方形，△HDA和△GDC都是以D為直角頂點的等腰直角三角形，點E是線段GC的中點．現將△HDA和△GDC分別沿著DA，DC翻折，直到點H和G重合為點P．連接PB，得如圖的四棱錐．

（Ⅰ）求證：PA//平面EBD；

（Ⅱ）求二面角大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（1）已知函數f(x)(x∈R)是奇函數，且當x＞0時，f(x)＝2x－1，求函數f(x)的解析式．

（2）已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某車間20名工人年齡數據如下表：

年齡（歲）

19

24

26

30

34

35

40

合計

工人數（人）

1

3

3

5

4

3

1

20

（1）求這20名工人年齡的眾數與平均數；

（2）以十位數為莖，個位數為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；

（3）從年齡在24和26的工人中隨機抽取2人，求這2人均是24歲的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某校高三一次月考之后，為了為解數學學科的學習情況，現從中隨機抽出若干名學生此次的數學成績，按成績分組，制成了下面頻率分布表：

組號

分組

頻數

頻率

第一組

5

0.05

第二組

35

0.35

第三組

30

0.30

第四組

20

0.20

第五組

10

0.10

合計

100

1.00

（1）試估計該校高三學生本次月考的平均分；

（2）如果把表中的頻率近似地看作每個學生在這次考試中取得相應成績的概率，那么從所有學生中采用逐個抽取的方法任意抽取3名學生的成績，并記成績落在中的學生數為，

求：①在三次抽取過程中至少有兩次連續(xù)抽中成績在中的概率；

②的分布列和數學期望．（注：本小題結果用分數表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若存在兩個極值點，求證：無論實數取什么值都有.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|1≤2x＋5≤15}．

(1)已知a＝3，求(RP)∩Q；

(2)若P∪Q＝Q，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）若對恒成立，求實數的取值范圍；

（2）是否存在整數，使得函數在區(qū)間上存在極小值，若存在，求出所有整數的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2017年春節(jié)期間，某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過600元（含600元），均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.

方案一：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球3個，黑球7個）的抽獎盒中，一次性摸出3個球，其中獎規(guī)則為：若摸到3個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球則打6折，若摸出1個紅球，則打7折；若沒摸出紅球，則不打折.

方案二：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球3個，黑球7個）的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.

（1）若兩個顧客均分別消費了600元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；

（2）若某顧客消費恰好滿1000元，試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？

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