Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）．
（Ⅰ） 當(dāng)a₂=-1時，求實數(shù)λ及a₃；
（Ⅱ）當(dāng)λ=5時，設(shè)bn=

an

2n

，求數(shù)列{b_n}的通項公式
（III）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列？若存在，求出其通項公式，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 通過a₁=2，a₂=-1時，利用a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，直接求實數(shù)λ及a₃；
（Ⅱ）當(dāng)λ=5時，推出{

an

2n

}是一個以1為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，求出a_n，然后求數(shù)列{b_n}的通項公式．
（III）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，推出a₁+a₃=2a₂，得到λ²-7λ+13=0，方程有解則存在，求出其通項公式，否則不存在．

解答：（本小題8分）
解：（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=-1，a₂=（λ-3）a₁+2，∴λ=

3

2

，…（1分）
故a3=-

3

2

a2+2 ，所以a3=

11

2

．…（2分）
（Ⅱ）當(dāng)λ=5時，a_n+1=2a_n+2ⁿ，兩邊同除以2ⁿ⁺¹，得：

an+1

2n+1

=

2an

2n

+

1

2

…（3分）
所以，{

an

2n

}是一個以1為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，所以：bn=

an

2n

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

所以{b_n}的通項公式為bn=

n+1

2

．                         …（5分）
（III）∵a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ∴a₂=（λ-3）a₁+2=2λ-4，a₃=（λ-3）a₂+4=2λ²-10λ+16
若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則a₁+a₃=2a₂∴λ²-7λ+13=0∵△=49-4×13＜0∴方程沒有實根，…（7分）
故不存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．…（8分）

點評：本題是中檔題，考查數(shù)列的項的求法，通項公式的求法，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，�？碱}型．