Question

設(shè)f（x）=lnx+ax（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a=1，證明：x∈[1，2]時(shí)，f（x）-3＜

1

x

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a=1，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明：x∈[1，2]時(shí)，f（x）-3＜

1

x

成立．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

x

+a，
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=

1

x

+a=

ax+1

x

，
由f′（x）＞0，解得0＜x＜-

1

a

，
由f′（x）＞0，解得x＜-

1

a

，
∴函數(shù)f（x）在（0，-

1

a

）上增函數(shù)，則（-

1

a

，+∞）是減函數(shù)；
（Ⅱ）若a=1，f（x）=lnx+x，要證明：x∈[1，2]時(shí)，f（x）-3＜

1

x

成立．
則只需要證明xlnx+x²-3x-1＜0，
則g′（x）=lnx+2x-2，
∵g′（1）=0，
∴設(shè)h（x）=lnx+2x-2，h′（x）=

1

x

+2＞0，x∈[1，2]，
∴h（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，∴g′（1）≤g′（x）≤g′（2），
即0≤g′（x）≤2+ln2，
∴g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，∴g（x）≤g（2）=2ln2-3＜0，
∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，xlnx+x²-3x-1＜0恒成立，即原命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．