Question

如圖所示是一個幾何體的直觀圖及它的三視圖（其中主視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，左視圖為直角三角形，尺寸如圖所示）．

（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）若G為BC的中點，求證：AE⊥PG．

Answer 1

【答案】分析：（I）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，求出棱錐的高PA的長，及底面面積，代入棱錐的體積公式即可得到答案．
（II）連BP，由已知中==，∠EBA與∠BAP均為直角，我們可以得到∴△EBA∽△BAP，然后根據(jù)三角形性質，對應角相等，得到PB⊥AE，結合BC⊥AE，及線面垂直的判定定理，得到AE⊥面PBG，再由線面垂直的性質定理，即可得到答案．
解答：解（Ⅰ）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，（2分）
PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA=4，BE=2，AB=AD=CD=CB=4，（4分）
∴V_P-ABCD=PA_xS_ABCD=×4×4×4=．（5分）
（Ⅱ）連BP，∵==，∠EBA=∠BAP=90°，（7分）
∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA=∠BEA，（8分）
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°，∴PB⊥AE．（10分）
又∵BC⊥面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥面PBG，∴AE⊥PG．（12分）
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質及由三視圖求體積，其中根據(jù)由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，高為PA為4的四錐棱及其中相關的線面關系是解答本題的關鍵．