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18.已知sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5},sin({α-β})=-\frac{{\sqrt{10}}}{10},α,β均為銳角,則cos2β=(  )
A.-\frac{{\sqrt{3}}}{2}B.-1C.0D.1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα的值,利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡可得cosβ-2sinβ=-\frac{\sqrt{2}}{2},
兩邊平方,整理可得:10sin2β-4\sqrt{2}sinβ-1=0,從而解得sinβ,利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解.

解答 解:∵sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5},sin({α-β})=-\frac{{\sqrt{10}}}{10},α,β均為銳角,
∴cosα=\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\frac{2\sqrt{5}}{5},
∴sinαcosβ-cosαsinβ=\frac{\sqrt{5}}{5}cosβ-\frac{2\sqrt{5}}{5}sinβ=-\frac{\sqrt{10}}{10},整理可得:cosβ-2sinβ=-\frac{\sqrt{2}}{2},
∴兩邊平方,整理可得:10sin2β-4\sqrt{2}sinβ-1=0,
∴解得:sinβ=\frac{\sqrt{2}}{2}或-\frac{\sqrt{2}}{10}(舍去),
∴cos2β=1-2sin2β=1-2×(\frac{\sqrt{2}}{2}2=0.
故選:C.

點(diǎn)評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角差的正弦函數(shù)公式,二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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