Question

18．已知$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sin（{α-β}）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}，α，β$均為銳角，則cos2β=（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cosα的值，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡可得cosβ-2sinβ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
兩邊平方，整理可得：10sin²β-4$\sqrt{2}$sinβ-1=0，從而解得sinβ，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可計算得解．

解答 解：∵$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，sin（{α-β}）=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}，α，β$均為銳角，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosβ-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinβ=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，整理可得：cosβ-2sinβ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴兩邊平方，整理可得：10sin²β-4$\sqrt{2}$sinβ-1=0，
∴解得：sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{\sqrt{2}}{10}$（舍去），
∴cos2β=1-2sin²β=1-2×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=0．
故選：C．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．