Question

5．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過等腰梯形ABCD的上底的兩個頂點C、D，下底的兩個頂點A、B分別為雙曲線的左、右焦點，對角線AC與雙曲線的左支交于點E，且3|AE|=2|EC|，|AB|=2|CD|，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由題意可得|CD|=c，設C在第一象限，由x=$\frac{c}{2}$，代入雙曲線的方程，可得C的坐標，再由條件可得$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{EC}$，運用向量共線的坐標表示，求得E的坐標，代入雙曲線的方程，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由2c=|AB|=2|CD|，可得|CD|=c，
設C在第一象限，
由x=$\frac{c}{2}$，可得y=b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$，即有C（$\frac{c}{2}$，b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$），
又A（-c，0），3|AE|=2|EC|，
可得$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{EC}$，即有E（$\frac{-c+\frac{2}{3}•\frac{c}{2}}{1+\frac{2}{3}}$，$\frac{\frac{2}{3}b\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}}{1+\frac{2}{3}}$），
即為（-$\frac{2}{5}$c，$\frac{2}{5}$b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$），
代入雙曲線的方程，可得$\frac{4}{25}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{25}$（$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-1）=1，
由e=$\frac{c}{a}$，可得4e²-e²=21，解得e=$\sqrt{7}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用向量的坐標表示，點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．