Question

我市某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組，在某一高速公路服務(wù)區(qū)，從小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后，每間隔5輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟�路的車速（km/h）分成六段：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，統(tǒng)計(jì)后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）此研究性學(xué)習(xí)小組在采樣中，用到的是什么抽樣方法？并求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；
（2）從車速在[80，90）的車輛中任意抽取3輛車，求車速在[80，85），[85，90）內(nèi)都有車輛的概率；
（3）若從車速在[70，80）的車輛中任意抽取3輛，求車速在[75，80）的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)抽樣方法的特征，得出是系統(tǒng)抽樣方法，根據(jù)頻率分布直方圖，求出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；
（Ⅱ）求出車速在[80，90）的車輛中任意抽取3輛車，車速在[80，85）內(nèi)的有2輛，在[85，90）內(nèi)的有1輛的概率，車速在[80，85）內(nèi)的有1輛，在[85，90）內(nèi)的有2輛的概率，概率相加即得結(jié)果；
（Ⅲ）從車速在[70，80）的車輛中任意抽取3輛，車速在[75，80）的車輛數(shù)為x，求出x的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵每間隔5輛就抽取一輛的抽樣方法抽取樣本數(shù)據(jù)，符合系統(tǒng)抽樣的特征，
∴在采樣中，用到的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣；…（2分）
∵小矩形最高的是[85，90）組，
∴樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為

85+90

2

=87.5，
∵0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35＜0.5，
0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5=0.65＞0.5，
∴中位數(shù)的估計(jì)值為

85+90

2

=87.5；…（4分）
（Ⅱ）車速在[80，90）的車輛共有（0.2+0.3）×40=20輛，
車速在[80，85），[85，90）內(nèi)的車輛分別有8輛和12輛；
記從車速在[80，90）的車輛中任意抽取3輛車，車速在[80，85）內(nèi)的有2輛，在[85，90）內(nèi)的有1輛為事件A，
車速在[80，85）內(nèi)的有1輛，在[85，90）內(nèi)的有2輛為事件B，
則P（A）+P（B）=

C 2 8 •C 1 12

C 3 20

+

C 1 8 •C 2 12

C 3 20

=

864

1140

=

72

95

；…（8分）
（Ⅲ）車速在[70，80）的車輛共有6輛，車速在[70，75）和[75，80）的車輛分別有2輛和4輛，
設(shè)若從車速在[70，80）的車輛中任意抽取3輛，車速在[75，80）的車輛數(shù)為x，
則x的可能取值為1，2，3；
∴P（x=1）=

C 2 2 •C 1 4

C 3 6

=

4

20

=

1

5

，…（9分）
P（x=2）=

C 1 2 •C 2 4

C 3 6

=

12

20

=

3

5

，…（10分）
P（x=3）=

C 0 2 •C 3 4

C 3 6

=

4

20

=

1

5

，…（11分）
∴分布列為

x	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

∴車速在[75，80）的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望為Ex=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列的應(yīng)用問題，是中檔題．