Question

【題目】如圖，已知城市周邊有兩個小鎮(zhèn)、，其中鄉(xiāng)鎮(zhèn)位于城市的正東方處，鄉(xiāng)鎮(zhèn)與城市相距，與夾角的正切值為2，為方便交通，現(xiàn)準備建設一條經過城市的公路，使鄉(xiāng)鎮(zhèn)和分別位于的兩側，過和建設兩條垂直的公路和，分別與公路交匯于、兩點，以為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.

（1）當兩個交匯點、重合，試確定此時路段長度；

（2）當，計算此時兩個交匯點、到城市的距離之比；

（3）若要求兩個交匯點、的距離不超過，求正切值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求出直線的斜率為1，點B的坐標為，再利用點到直線的距離為|BD|=；（2）設直線AB的斜率為，先求出再求出，即得；（3）先求出,再求出解不等式即得解.

（1）當兩個交匯點、重合時，則AC,BD公路共線，

過點B作BE⊥AO,垂足為E, 則,

所以AE=，所以|BE|=|AE|,

所以直線AB的傾斜角為，所以直線AB的斜率為，

所以直線的斜率為1，

因為點B的坐標為，所以|BD|=.

（2）由題得A(21,0)，設直線AB的斜率為，

所以直線AB的方程為，

因為|AC|=|BD|,

所以.

由題得,

所以,

所以.

（3）由題得

，

所以，

所以.

因為,

所以

解之得.

故正切值的取值范圍為.