精英家教網(wǎng)如圖所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn).
(I)求證:EF⊥B1C;
(II)求二面角E-FC-D的正切值;
(III)求三棱錐F-EDC的體積.
分析:(I)由已知中在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)我們可由B1C⊥AB,B1C⊥BC1,得到B1C⊥平面ABC1D1,進(jìn)而B1C⊥BD1,再由中位線定理即可得到EF⊥B1C;
(II)CF⊥BD,DD1⊥CF,結(jié)合線面垂直的判定定理可得DD1⊥平面ABCD,進(jìn)而可得CF⊥平面BDD1B1,則∠EFD為二面角E-FC-D的平面角,解三角形EFD,即可求出二面角E-FC-D的正切值;
(III)由VF-EDC=VE-FDC,我們求出三棱錐的底面面積和高,代入棱錐的體積公式,即可得到答案.
解答:證明:(I)由正方體的幾何特征可得:
∵B1C⊥AB,B1C⊥BC1,AB∩B1C=B
∴B1C⊥平面ABC1D1,
∴B1C⊥BD1,
又∵EF∥BD1,
∴EF⊥B1C.…(6分)
(II)∵點(diǎn)F為DB的中點(diǎn),且ABCD為正方形,
∴CF⊥BD.
又DD1⊥平面ABCD,
∴DD1⊥CF.
而DD1∩DB=D,
∴CF⊥平面BDD1B1
又EF?平面BDD1B1,
∴CF⊥EF,故∠EFD為二面角E-FC-D的平面角.
在Rt△EFD中,DE=1,DF=
2
,
∴tan∠EFD=
DE
DF
=
2
2

因而二面角二面角E-FC-D的正切值為
2
2
. …(9分)
(III)∵DE=1,F(xiàn)C=DF=
2
,
∴VF-EDC=VE-FDC=
1
3
×DE×
1
2
×DF×FC=
1
3
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法,棱錐的體積,線面垂直的性質(zhì),(I)的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,(II)的關(guān)鍵是證得∠EFD為二面角E-FC-D的平面角,(III)的關(guān)鍵是由VF-EDC=VE-FDC對(duì)棱錐進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為DD1、DB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EF∥平面ABC1D1;
(Ⅱ)求證:EF⊥B1C.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

17、如圖所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為DD1,DB的中點(diǎn)
(1)求證:EF∥平面ABC1D1; 
(2)求二面角B1-EF-C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,E、F分別為DD1、BD的中點(diǎn).  
(1)求證:EF∥面ABC1D1
(2)求證EF∥BD1
(3)求三棱錐VB1-EFC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•虹口區(qū)三模)如圖所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:CF⊥B1E;
(Ⅱ)求三棱錐VB1-EFC的體積.

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