Question

【題目】《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與地面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，首屆中國國際進口博覽會的某展館棚頂一角的鋼結(jié)構(gòu)可以抽象為空間圖形陽馬，如圖所示，在陽馬中，底面.

（1）已知，斜梁與底面所成角為，求立柱的長；（精確到）

（2）求證：四面體為鱉臑.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）在中，由題意知 由解得 .

（2）推導(dǎo)出，由此能證明BC⊥平面PDC．從而得到四面體EBCD是鱉臑．其中四個直角分別為∠BCD，∠BCP，∠PDC，∠PDB．

（1）解：因為側(cè)棱底面，

則側(cè)棱在底面上的射影是，

所以就是側(cè)棱與底面所成的角，即．

在中，，

由得 ，解得 ．

所以立柱的長約為 ．

（2）由題意知底面是長方形，所以是直角三角形．

因為側(cè)棱底面，得，

所以、是直角三角形．

因為，，又， 平面，

所以平面．

又因為 平面，所以，所以 為直角三角形．

由鱉臑的定義知，四面體為鱉臑．