Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=kⁿ-1（k∈R），且{a_n}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，則k的取值集合是{0}．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系可得：a₁=S₁=k-1；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=k^n-1（k-1）．對(duì)k分類(lèi)討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其定義即可得出結(jié)論．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=kⁿ-1（k∈R），
∴a₁=S₁=k-1；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=kⁿ-1-（k^n-1-1）=k^n-1（k-1）．
k=1時(shí)，a_n=0，此時(shí)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
k≠1，0時(shí)，此時(shí)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為k-1，公比為k．
k=0時(shí)，a₁=-1，n≥2時(shí)，a_n=0．此時(shí){a_n}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列．
∴k的取值集合是{0}．
故答案為：{0}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其定義，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．