Question

已知函數f(x)=lnx+

a

x

(a＞0)
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導數，令導數大于0，小于0，分別解出不等式即可；
（2）切線的斜率即為函數在切點處的導數，讓導數≤

1

2

恒成立即可，再由不等式恒成立時所取的條件得到實數a范圍，即得實數a的最小值．

解答：解：由f(x)=lnx+

a

x

(a＞0)，得到f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

 (a＞0，x＞0)
（1）令f′（x）＞0，得到x-a＞0，故函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（a，+∞），
令f′（x）＜0，得到x-a＜0，故函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，a），
故函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，a），單調遞增區(qū)間為（a，+∞）．
（2）由于f′(x0)=

x0-a

x02

，且以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立
則f′(x0)=

x0-a

x02

 ≤

1

2

在（0，3]上恒成立，即a≥x0-

1

2

x02在（0，3]上恒成立，
令g(x)=x-

1

2

x2(0＜x≤3)，可知g(x)max=g(1)=

1

2

，
∴a≥

1

2

，
故實數a的最小值為

1

2

．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．同時考查利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，不等式恒成立時所取的條件．