對于函數(shù)f(x)=mx-
x2+2x+n
(x∈[-2,+∞)),若存在閉區(qū)間[a,b]⊆[-2,+∞)(a<b),使得對任意x∈[a,b],恒有f(x)=c(c為實常數(shù)),則實數(shù)|mn|的值為
1
1
分析:f(x)=c,即mx-
x2+2x+n
=c,兩邊平方整理為關(guān)于x的二次方程,由f(x)=c恒成立可得方程組,解出即可.
解答:解:f(x)=c,即mx-
x2+2x+n
=c,
所以(mx-c)2=(
x2+2x+n
)2
,整理得(m2-1)x2-(2mc+2)x+c2-n=0,
因為對任意x∈[a,b],恒有f(x)=c,
所以
m2-1=0
2mc+2=0
c2-n=0
,解得
m=1
c=-1
n=1
m=-1
c=1
n=1

故|mn|=1,
故答案為:1.
點評:本題考查函數(shù)單調(diào)性,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a,b(a<b),使得當(dāng)x∈[a,b]時,f(x)的值域是[a,b],則稱函數(shù)f(x)為“M函數(shù)”.給出下列四個函數(shù):
①f(x)=x+1     ②f(x)=-x2+1
③f(x)=2x-2    ④f(x)=
x
-
1
8

其中所有“M函數(shù)”的序號是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),在使f(x)≤M成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最小值稱為函數(shù)f(x)的“上確界”則函數(shù)f(x)=
(x+1)2
x2+1
的上確界為( 。
A、
1
4
B、
1
2
C、2
D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=ln
1+x1-x

(1)求f(x)的定義域;判斷f(x)的奇偶性及單調(diào)性并給予證明;
(2)對于函數(shù)f(x),當(dāng)x∈(-1,1)時,f(1-m)+f(1-m2)<0.求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.如果對于函數(shù)f(x)的所有上界中有一個最小的上界,就稱其為函數(shù)f(x)的上確界.已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x
g(x)=
1-m•2x
1+m•2x

(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若m>0,求函數(shù)g(x)在[0,1]上的上確界T(m).

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