【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,且.點(diǎn)

是棱的中點(diǎn),平面與棱交于點(diǎn).

1)求證:;

2)若,且平面平面,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】試題分析:(1)推導(dǎo)出,從而平面,由此能證明
(2)取中點(diǎn),連接,,以為原點(diǎn),、、所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面與平面所成的二面角的余弦值.

試題解析:(1)證明:∵是菱形,∴,

平面,平面,

平面,

四點(diǎn)共面,且面,

.

(2)解:取中點(diǎn),連接,,

,∴

∵平面平面,平面平面,

,

,在菱形中,∵,中點(diǎn),

如圖,以為原點(diǎn),、、所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,

得,,,,

.

又∵,點(diǎn)是棱中點(diǎn),∴點(diǎn)是棱中點(diǎn),

,,

設(shè)平面的法向量為,

則有,取,則.

平面,∴是平面的一個(gè)法向量,

,二面角的余弦值為

∴平面與平面所成的二面角的余弦值為.

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A. B. C. D.

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