Question

已知對數函數y=f（x）的圖象過點（4，-2）．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若不等式滿足f（2x-1）＞-4，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）設f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），由圖象過點（4，-2），求得a的值，可得函數f（x）的解析式；
（2）由f（2x-1）＞-4和對數函數的單調性，即可得到2x-1＞0且2x-1＜16，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）設f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
則由圖象過點（4，-2），可得log_a4=-2，
即a^-2=4，解得 a=±

1

2

，
則a=

1

2

成立，
即有函數y=f（x）的解析式為：f（x）=log

1

2

x；
（2）不等式f（2x-1）＞-4，
即有log

1

2

(2x-1)＞log

1

2

16，
由對數函數y=log_ax（0＜a＜1）在（0，+∞）上遞減，
得到2x-1＞0且2x-1＜16，
解得

1

2

＜x＜

17

2

．
故x的取值范圍為：（

1

2

，

17

2

）．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質，用待定系數法求函數的解析式，對數不等式的解法，屬于中檔題．