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11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Tn,且log2Tn=nn12,n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=λan-1(n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,若對任意的n∈N*,總有Sn+1>Sn,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

分析 (I)由log2Tn=nn12,n∈N*,化為Tn=2nn12.當(dāng)n≥2時,an=TnTn1,當(dāng)n=1時,a1=T1,即可得出.
(II)bn=λan-1=λ2n-1-1,利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得Sn.化簡Sn+1>Sn,再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(I)∵log2Tn=nn12,n∈N*,∴Tn=2nn12
∴a1=T1=20=1.
當(dāng)n≥2時,an=TnTn1=2nn122n1n22=2n-1,當(dāng)n=1時也成立.
∴an=2n-1
(II)bn=λan-1=λ2n-1-1,
數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn=λ2n121-n=λ(2n-1)-n.
由Sn+1>Sn,可得λ(2n+1-1)-(n+1)>λ(2n-1)-n.
化為:λ•2n>1,即λ>12n
∵對任意的n∈N*,總有Sn+1>Sn,
∴λ>12nmax=12
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是12+

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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