【題目】如圖, 是圓柱的上、下底面圓的直徑, 是邊長為2的正方形, 是底面圓周上不同于兩點(diǎn)的一點(diǎn), .
(1)求證: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析:
(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得, ,結(jié)合線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合平面的法向量可得二面角的余弦值是.
試題解析:
(1)由圓柱性質(zhì)知: 平面,
又平面,∴,
又是底面圓的直徑, 是底面圓周上不同于兩點(diǎn)的一點(diǎn),∴,
又, 平面,
∴平面.
(2)解法1:過作,垂足為,由圓柱性質(zhì)知平面平面,
∴平面,又過作,垂足為,連接,
則即為所求的二面角的平面角的補(bǔ)角,
, 易得, , ,
∴,
由(1)知,∴,
∴,∴,
∴所求的二面角的余弦值為.
解法2:過在平面作,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
∵, ,∴,∴, , ,
∴, ,
平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為,
,即,取,
∴,
∴所求的二面角的余弦值為.
解法3:如圖,以為原點(diǎn), 分別為軸, 軸,圓柱過點(diǎn)的母線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則
, , , , ,
∴, , , ,
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
則, ,即,令,則, ,
∴, ,
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
則, ,即,令,則, .
∴, ,
∴,
∴所求的二面角的余弦值為.
解法4:由(1)知可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:
∵, ,∴,∴, , , ,
∴, , , ,
設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,
∴, ,
即, ,
,取,
∴.
∴所求的二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列函數(shù):①y=x2+1;②y=﹣|x|;③y=( )x;④y=log2x;
其中同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)的個(gè)數(shù)是( )
條件一:定義在R上的偶函數(shù);
條件二:對任意x1 , x2∈(0,+∞),(x1≠x2),有 <0.
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù),是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài).一個(gè)共享單車企業(yè)在某個(gè)城市就“一天中一輛單車的平均成本(單位:元)與租用單車的數(shù)量(單位:千輛)之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究,在調(diào)查過程中進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得出相關(guān)數(shù)據(jù)見下表:
租用單車數(shù)量(千輛) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每天一輛車平均成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個(gè)回歸方程,方程甲: ,方程乙: .
(1)為了評價(jià)兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):
①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到0.1)(備注: ,稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差(也叫隨機(jī)誤差));
租用單車數(shù)量 (千輛) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每天一輛車平均成本 (元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估計(jì)值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
殘差 | 0 | -0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估計(jì)值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
殘差 | 0.1 | 0 | 0 |
②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和及,并通過比較的大小,判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.
(2)這個(gè)公司在該城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎,共享單車常常供不應(yīng)求,于是該公司研究是否增加投放.根據(jù)市場調(diào)查,這個(gè)城市投放8千輛時(shí),該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.6,0.4;投放1萬輛時(shí),該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.4,0.6.問該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬輛能獲得更多利潤?(按(1)中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本,利潤=收入-成本).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,1),對任意x,y∈(﹣1,1),有f(x)+f(y)=f( ).且當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0.
(1)驗(yàn)證函數(shù)f(x)=lg 是否滿足這些條件;
(2)若f( )=1,f( )=2,且|a|<1,|b|<1,求f(a),f(b)的值.
(3)若f(﹣ )=1,試解關(guān)于x的方程f(x)=﹣ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=log (x2﹣9)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.(0,+∞)
B.(﹣∞,0)
C.(3,+∞)
D.(﹣∞,﹣3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于1的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表:
收入x (萬元) | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 |
支出y (萬元) | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 |
根據(jù)如表可得回歸直線方程y= x+ ,其中 =0.76, = ﹣ ,據(jù)此估計(jì),該社區(qū)一戶收入為20萬元家庭年支出為( )
A.11.4萬元
B.11.8萬元
C.15.2萬元
D.15.6萬元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l過點(diǎn)P(0,﹣4),且傾斜角為 ,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ.
(1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l和圓C相交于A、B兩點(diǎn),求|PA||PB|及弦長|AB|的值.
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