Question

設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，令g（x）=f（x）-f（2010-x）
（1）求證g（x）+g（2010-x）時(shí)定值；
（2）判斷g（x）在R上的單調(diào)性，并證明；
（3）若g（x₁）+g（x₂）＞0，求證x₁+x₂＞2010．

Answer 1

分析：（1）利用條件化簡(jiǎn)g（x）+g（2010-x）=f（x）-f（2010-x）+f（2010-x）-f（x）=0，顯然為定值．
（2）f（x）在R上的增函數(shù)，設(shè)x₁＜x₂，化簡(jiǎn)（x₁）-g（x₂）為[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2010-x₂）-f（2010-x₁）]，小于0，從而得到g（x）在R上的增函數(shù)．
（3）用反證法證明，假設(shè)x₁+x₂≤2010，利用g（x）在R上的增函數(shù)推出g（x₁）+g（x₂）≤0，這與已知g（x₁）+g（x₂）＞0矛盾，從而應(yīng)有x₁+x₂＞2010．

解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-f（2010-x），
∴g（x）+g（2010-x）=f（x）-f（2010-x）+f（2010-x）-f（x）=0為定值．
（2）g（x）在R上的增函數(shù)，設(shè)x₁＜x₂，則2010-x₁＞2010-x₂，
∵f（x）是R上的增函數(shù)∴f（x₁）＜f（x₂），f（2010-x₁）＞f（2010-x₂）
故g（x₁）-g（x₂）=f（x₁）-f（2010-x₁）-f（x₂）+f（2010-x₂）=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2010-x₂）-f（2010-x₁）]＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），∴g（x）在R上的增函數(shù)．
（3）假設(shè)x₁+x₂≤2010，則x₁≤2010-x₂ ，故g（x₁）≤g（2010-x₂），
又g（2010-x₂）=-g（x₂），
∴g（x₁）+g（x₂）≤0，這與已知g（x₁）+g（x₂）＞0矛盾，
∴x₁+x₂＞2010．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．