Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

mx+1

x-1

（a＞0，a≠1），在定義域（-∞，-1）∪（1，+∞）上是奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，構(gòu)造關(guān)于m的方程，即可求得結(jié)論．
（2）根據(jù)（1）中m的值，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)論，進而利用定義法可以證明結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=log_a

mx+1

x-1

（a＞0，且a≠1）在其定義域上是奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，
即log_a

mx+1

x-1

+log_a

-mx+1

-x-1

=0
∴

mx+1

x-1

×

-mx+1

-x-1

=1
∴1-m²x²=1-x²
∴m²=1
∴m=±1
當(dāng)m=-1時，

mx+1

x-1

=

-x+1

x-1

=-1，不合題意；
當(dāng)m=1時，f（x）=log_a

x+1

x-1

，符合題意
故m=1，
（2）由（1）知f（x）=log_a

x+1

x-1

，
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
證明如下：
任取，x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=loga

x1+1

x1-1

-loga

x2+1

x2-1

=loga

x1x2-x1+x2+1

x1x2+x1-x2+1

，
∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
∴（x₁x₂-x₁+x₂+1）（x₁x₂-x₁+x₂+1）=2（x₂-x₁）＞0，
所以x₁x₂-x₁+x₂+1＞x₁x₂-x₁+x₂+1＞0，
因為1+x₁-x₂-x₁x₂=（1+x₁）（1-x₂）＞0，
所以

x1x2-x1+x2+1

x1x2+x1-x2+1

＞1，
當(dāng)0＜a＜1時，loga

x1x2-x1+x2+1

x1x2+x1-x2+1

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
此時函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞1時，loga

x1x2-x1+x2+1

x1x2+x1-x2+1

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
此時函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查對數(shù)的運算性質(zhì)，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，是對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．