Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式；
（3）若關(guān)于x的方程|f（x）|=a無實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由定義域為R的奇函數(shù)f（x），又由當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

．利用奇函數(shù)f（-x）=-f（x），f（0）=0，我們可以求出f（x）在（-1，0）上的解析式，然后根據(jù)f（x）滿足f（x）=f（x-2k）求出f（-1），f（1）的值，即得到f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）設(shè)x∈[2k-1，2k+1]，則x-2k∈[-1，1]，利用f（x）是以2為周期的函數(shù)，即f（x-2k）=f（x）可求解．
（3）根據(jù)當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

，求出函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的值域，即可得到方程|f（x）|=a無實數(shù)解，時，a的取值范圍．

解答：解：（1）當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），
有f(-x)=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，
由f（x）為R上的奇函數(shù)，得f（-x）=-f（x），
∴當x∈（-1，0）時，f(x)=-f(-x)=-

2x

4x+1

，（4分）
又f（0）=-f（0），f（0）=0，
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0，（7分）
∴f(x)=

- 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 0，x=0，±1 2x 4x+1 ，x∈(0，1)

（8分）
（2）因為f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1-1）=f（x）
所以，2是函數(shù)f（x）的一個周期（2分）
∵f（x）是以2為周期的函數(shù)，即f（x-2k）=f（x），k∈Z，
設(shè)x∈[2k-1，2k+1]，則x-2k∈[-1，1]，
∴f（x-2k）=

- 2x 4x+1 ，x-2k∈(-1，0) 0，x-2k=0，±1 2x 4x+1 ，x-2k∈(0，1)

，（k∈Z）（6分）
f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式：
f（x）=

- 2x 4x+1 ，x∈(2k-1，2k) 0，x=2k，2k±1 2x 4x+1 ，x∈(2k，2k+1)

，（k∈Z）．
（3）∵x∈（0，1）
設(shè)m=

2x

4x+1

=

1

2x+ 1 2x

，（11分）
2^x∈（1，2），
∴2x+

1

2x

∈(2，

5

2

)，
當x=0，1時，m=0，
即當x∈[0，1]時，m∈(

2

5

，

1

2

)∪{0}．    （14分）
∴當x∈[-1，1]時，|f（x）|∈(

2

5

，

1

2

)∪{0}，
若關(guān)于x的方程|f（x）|=a無實數(shù)解，
則實數(shù)a的取值范圍為：（-∞，0）∪（0，

2

5

）∪（

1

2

，+∞）．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)與方程的綜合運用，函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的值域，其中（1）中易忽略對f（0），f（-1）及f（1）值的確定，而錯解為f(x)=

- 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 2x 4x+1 ，x∈(0，1)

．