Question

甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為

1

2

，a，a（0＜a＜1），三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為ξ．
（1）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出ξ的可能取值，然后分別求出ξ取值的概率，從而得到分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望的公式進(jìn)行求解即可；
（2）要使P（ξ=1）的值最大，只需P（ξ=1）-P（ξ=0），P（ξ=1）-P（ξ=2），P（ξ=1）-P（ξ=3）都大于等于0，解之即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）P（ξ）是“ξ個(gè)人命中，3-ξ個(gè)人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0，1，2，3.P(ξ=0)=

C

0 1

(1-

1

2

)

C

0 2

(1-a)2=

1

2

(1-a)2，P(ξ=1)=

C

1 1

•

1

2

C

0 2

(1-a)2+

C

0 1

(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a2)，P(ξ=2)=

C

1 1

•

1

2

C

1 2

a(1-a)+

C

0 1

(1-

1

2

)

C

2 2

a2=

1

2

(2a-a2)，P(ξ=3)=

C

1 1

•

1

2

C

2 2

a2=

a2

2

．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 2 (1-a)2	1 2 (1-a2)	1 2 (2a-a2)	a2 2

ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

1

2

(1-a)2+1×

1

2

(1-a2)+2×

1

2

(2a-a2)+3×

a2

2

=

4a+1

2

．
（2）P(ξ=1)-P(ξ=0)=

1

2

[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，P(ξ=1)-P(ξ=2)=

1

2

[(1-a2)-(2a-a2)]=

1-2a

2

，
P(ξ=1)-P(ξ=3)=

1

2

[(1-a2)-a2]=

1-2a2

2

．
由

a(1-a)≥0 1-2a 2 ≥0 1-2a2 2 ≥0

和0＜a＜1，得0＜a≤

1

2

，即a的取值范圍是(0，  

1

2

]．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)在于準(zhǔn)確理解好題意，還考查了離散型隨機(jī)變量的定義及其分布列，利用期望定義求出離散型隨機(jī)變量的期望．