Question

已知定義在（0，+∞）上的兩個函數(shù)處取得極值．
（1）求a的值及函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)成立．
（3）把g（x）對應(yīng)的曲線向上平移6個單位后得曲線C₁，求C₁與f（x）對應(yīng)曲線C₂的交點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=2x-，∴f'（1）=2-a=0，∴a=2．…（2分）
∴．由，得x＞1；
由，得0＜x＜1．
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）．…（4分）
（2）∵1＜x＜e²，
∴0＜lnx＜2，
∴2-lnx＞0．
欲證，只需證明2x-xlnx＜2+lnx，
即只需證．
記，
則．
當(dāng)x＞1時，F(xiàn)'（x）＞0，
∴F（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∴F（x）＞F（1）=0，
∴F（x）＞0，即．
∴．故結(jié)論成立． …（8分）
（3）由題意知．
問題轉(zhuǎn)化為在（0，+∞）上解的個數(shù)．…（10分）
=．
由G'（x）＞0，得x＞1；由G'（x）＜0，得0＜x＜1．
∴G（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．
又G（1）=-4＜0，所以
在（0，+∞）上有2個解．
即C₁與f（x）對應(yīng)曲線C₂的交點個數(shù)是2．…（14分）
分析：（1）先根據(jù)f'（1）=0求出a的值，然后求出g′（x），最后解g′（x）＞0與g′（x）＜0，即可求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先判定2-lnx的符號，欲證，只需證明2x-xlnx＜2+lnx，即只需證，記，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)F（x）的最小值即可證得結(jié)論；
（3）由題意知，問題轉(zhuǎn)化為在（0，+∞）上解的個數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可判定解的個數(shù)．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性和圖象交點問題，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．