考點:函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域,函數(shù)單調性的判斷與證明
專題:計算題,函數(shù)的性質及應用
分析:先判斷定義域是否關于原點對稱,再計算f(-x),即可得到奇偶性;運用導數(shù),求出導數(shù),令導數(shù)大于0、小于0,解不等式即可得到單調區(qū)間,注意定義域;討論x=0,x>0,x<0,運用基本不等式,即可得到最值.
解答:
解:f(x)為奇函數(shù),理由:f(x)的定義域為[-3,3]關于原點對稱,
f(-x)=-
=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).
又函數(shù)的導數(shù)為f′(x)=
,
由f′(x)>0,解得1-x
2>0,即x
2<1,解得-1<x<1,
此時函數(shù)f(x)在(-1,1)單調遞增;
由f′(x)<0,解得1-x
2<0,即x
2>1,解得x>1或x<-1,
此時函數(shù)在(1,3),(-3,-1)單調遞減.
又x
2+1>0在[-3,3]上恒成立,
若x=0,則f(x)=0,
若x≠0時,f(x)=
=
,
若x>0,x+
≥2,此時0<f(x)≤
,
若x<0,則x+
≤-2
=-2,此時-
≤f(x)<0,
綜上-
≤f(x)≤
,即函數(shù)的最大值為
,最小值為-
.
點評:本題主要考查分式函數(shù)的性質,要求熟練掌握分式函數(shù)定義域,值域,單調性的求法.