Question

設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），且橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F₂的最短距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，線段MN垂直平分線恒過(guò)點(diǎn)A（0，-1），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出設(shè)橢圓上的點(diǎn)P（x，y）到焦點(diǎn)F₂的距離d_min=a-c，利用條件即幾何量的關(guān)系，即可求得橢圓的方程；
（2）由得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，根據(jù)直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，可得m²＜3k²+1①，根據(jù)線段MN垂直平分線恒過(guò)點(diǎn)A（0，-1），可得2m=3k²+1（k≠0）②，由①②，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)橢圓上的點(diǎn)P（x，y）到焦點(diǎn)F₂的距離為d
∴
∵
∴x=a時(shí)，d_min=a-c
∴，∴，∴b=1
∴橢圓的方程為；
（2）由得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0
∵直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，
∴△＞0，∴m²＜3k²+1①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x₁+x₂=
∴MN的中點(diǎn)為B（）．
∵線段MN垂直平分線恒過(guò)點(diǎn)A（0，-1），
∴AQ⊥MN
∴
∴2m=3k²+1（k≠0）②
由①②得m²＜2m，∴0＜m＜2
由②得m＞
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的幾何性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組是關(guān)鍵．