Question

已知直線l：mx-2y+2m=0（m∈R）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓C的離心率為

2

2

，連接橢圓的四個頂點形成四邊形的面積為2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓過原點O，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由離心率e=

2

2

及c²=a²-b²，得b=

2

2

a，再由2ab=2

2

可求a，b；
（Ⅱ）聯(lián)立 

y= m 2 x+m x2 2 +y2=1

，消去y得：（1+

m2

2

）x²+2m²x+2m²-2=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意，得

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，由韋達定理代入可求m；

解答： 解：（Ⅰ）由離心率e=

2

2

，得c=

2

2

a．
∵c²=a²-b²，∴b=

2

2

a．
又因為2ab=2

2

，所以a=

2

，b=1．
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ） 聯(lián)立 

y= m 2 x+m x2 2 +y2=1

，消去y得：（1+

m2

2

）x²+2m²x+2m²-2=0．
由△=4m4-4(1+

m2

2

)(2m2-2)＞0，得-

2

＜m＜

2

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-2m2

1+ m2 2

，x1x2=

2m2-2

1+ m2 2

，
由題意，得

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（

m

2

x1+m）（

m

2

x2+m）=0，即（1+

m2

4

）x₁x₂+

m2

2

(x1+x2)+m²=0，
∴（1+

m2

4

）•

2m2-2

1+ m2 2

+

m2

2

•

-2m2

1+ m2 2

+m2=0．
解之，得m=±

2 5

5

，滿足△＞0，∴m=±

2 5

5

．

點評：該題考查橢圓的方程、性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理、判別式是該類題目常用知識，要熟練掌握．