Question

已知函數(shù)f（x）=mx³+2nx²-12x的減區(qū)間是（-2，2）．
（1）試求m、n的值；
（2）求過(guò)點(diǎn)A（1，-11）且與曲線(xiàn)y=f（x）相切的切線(xiàn)方程；
（3）過(guò)點(diǎn)A（1，t）是否存在與曲線(xiàn)y=f（x）相切的3條切線(xiàn)，若存在求實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）單調(diào)減區(qū)間即為f'（x）＜0的解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m與n的值即可；
（2）當(dāng)A為切點(diǎn)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=1處的切線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)方程，化成一般式即可，當(dāng)A不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，f（x₀）），這時(shí)切線(xiàn)的斜率是k=f'（x₀），將點(diǎn)A（1，-11）代入得到關(guān)于x₀的方程，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求出切線(xiàn)方程；
（3）存在滿(mǎn)足條件的三條切線(xiàn)．設(shè)點(diǎn)P（x₀，f（x₀））是曲線(xiàn)f（x）=x³-12x的切點(diǎn)，寫(xiě)出在P點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀）將點(diǎn)A（1，t）代入，將t分離出來(lái)，根據(jù)有三條切線(xiàn)，所以方程應(yīng)有3個(gè)實(shí)根，設(shè)g（x）=2x³-3x²+t+12，只要使曲線(xiàn)有3個(gè)零點(diǎn)即可．建立不等關(guān)系解之即可．

解答：解：（1）由題意知：f'（x）=3mx²+4nx-12＜0的解集為（-2，2），
所以，-2和2為方程3mx²+4nx-12=0的根，（2分）
由韋達(dá)定理知0=-

4n

3m

，-4=

-12

3m

，即m=1，n=0．（4分）
（2）∵f（x）=x³-12x，∴f'（x）=3x²-12，∵f（1）=1³-12•1=-11
當(dāng)A為切點(diǎn)時(shí)，切線(xiàn)的斜率k=f'（1）=3-12=-9，
∴切線(xiàn)為y+11=-9（x-1），即9x+y+2=0；（6分）
當(dāng)A不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，f（x₀）），這時(shí)切線(xiàn)的斜率是k=f'（x₀）=3x₀²-12，
切線(xiàn)方程為y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），即y=3（x₀²-4）x-2x₀³
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A（1，-11），-11=3（x₀²-4）-2x₀³，∴2x₀³-3x₀²+1=0，（x₀-1）²（2x₀+1）=0，
∴x₀=1或x0=-

1

2

，而x₀=1為A點(diǎn)，即另一個(gè)切點(diǎn)為P(-

1

2

， 

47

8

)，
∴k=f′(-

1

2

)=3×

1

4

-12=-

45

4

，
切線(xiàn)方程為y+11=-

45

4

(x-1)，即45x+4y-1=0（8分）
所以，過(guò)點(diǎn)A（1，-11）的切線(xiàn)為9x+y+2=0或45x+4y-1=0．（9分）
（3）存在滿(mǎn)足條件的三條切線(xiàn)．（10分）
設(shè)點(diǎn)P（x₀，f（x₀））是曲線(xiàn)f（x）=x³-12x的切點(diǎn)，
則在P點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀）即y=3（x₀²-4）x-2x₀³
因?yàn)槠溥^(guò)點(diǎn)A（1，t），所以，t=3（x₀²-4）-2x₀³=-2x₀³+3x₀²-12，
由于有三條切線(xiàn)，所以方程應(yīng)有3個(gè)實(shí)根，（11分）
設(shè)g（x）=2x³-3x²+t+12，只要使曲線(xiàn)有3個(gè)零點(diǎn)即可．
設(shè)g'（x）=6x²-6x=0，∴x=0或x=1分別為g（x）的極值點(diǎn)，
當(dāng)x∈（-∞，0）和（1，+∞）時(shí)g'（x）＞0，g（x）在（-∞，0）和（1，+∞）上單增，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)g'（x）＜0，g（x）在（0，1）上單減，
所以，x=0為極大值點(diǎn)，x=1為極小值點(diǎn)．
所以要使曲線(xiàn)與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)

g(0)＞0 g(1)＜0

即

t+12＞0 t+11＜0

，
解得-12＜t＜-11．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．