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13.某經銷商計劃銷售一款新型的空氣凈化器,經市場凋研發(fā)現以下規(guī)律:當每臺凈化器的利潤為x(單位:元,x>0)時,銷售量q(x)(單位:百臺)與x的關系滿足:若x不超過20,則q(x)=1260x+1;若x大于或等于180,則銷售為零;當20≤x≤180時.q(x)=a-bx(a,b為實常數).
(1)求函數q(x)的表達式;
(2)當x為多少時,總利潤(單位:元)取得最大值,并求出該最大值.

分析 (1)分段函數由題意知分界點處函數值相等得到a,b
(2)總利潤為每臺的利潤乘以銷售量,分段函數每段求最大值,最后選擇一個最大的為分段函數的最大值.

解答 解:(1)由x=20和x=180時可以解得a,b
{126021=ab20ab180=0
∴a=90,b=35
∴q(x)={1260x+10x209035x20x1800x180
(2)設總利潤為W(x)
則W(x)={1260xx+10x2090x3x5x20x1800x180
①當x∈(0,20]時,W(x)=1260-1260x+1為單調遞增,最大值為1200,此時x=20
②當x∈[20,180]時,W(x)=90x-3x5x,(W(x))′=90-952x
此時x∈[20,80]時,W(x)單調遞增.x∈[80,180]時,W(x)單調遞減
∴在x=80時取得最大為2400
綜上所述:x=80時,總利潤最大為2400元.

點評 本題考查分段函數的解析式問題,由題意知分界點處函數值相等得到a,b.總利潤為每臺的利潤乘以銷售量,分段函數每段求最大值,最后選擇一個最大的為分段函數的最大值.

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