Question

已知

a

=（

3

sinωx，-cosωx），

b

=（cosωx，cosωx），ω＞0，函數(shù)f(x)=

a

•

b

，且f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=

7

，b=2，且f（

A

2

）=

1

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出f（x）解析式，整理后根據(jù)相鄰兩條對稱軸間的距離求出最小正周期，利用周期公式求出ω的值，確定出f（x）解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間即可；
（Ⅱ）由f（

A

2

）=

1

2

，確定出A的度數(shù)，再由a，b的值，利用余弦定理求出c的值，根據(jù)三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（

3

sinωx，-cosωx），

b

=（cosωx，cosωx），ω＞0
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinωxcosωx-cosωxcosωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
∵f（x）相鄰兩條對稱軸的距離為

π

2

，∴f（x）最小正周期為π，
由

2π

2ω

=π，得ω=1，即函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（

A

2

）=sin（A-

π

6

）-

1

2

=

1

2

，
∴sin（A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A=

2π

3

，
在△ABC中，a=

7

，b=2，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，即7=4+c²+2c，
解得：c=3或c=-1（舍去），
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3 3

2

．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．