Question

在如圖所示的多面體中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，BC⊥AC，EF∥AC，AB=，EF=EC=1．
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求證：DF⊥平面BEF；
（3）求二面角A-BF-E的余弦值．

Answer 1

（1）證明：設(shè)AC與BD交與點(diǎn)O．
∵EF∥AO，且EF=1，AO=AC=1．
∴四邊形AOEF為平行四邊形，
∴AF∥EO，
∵EO?面BDE，AF?面BDE，∴AF∥面BDE．…（3分）
（2）證明：∵正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，∴CE⊥面ABCD，
連接FO，∵正方形ABCD的邊長為，∴AC=BD=2；
直角梯形ACEF中，F(xiàn)O∥EC，且FO=1，DF=BF=，DE=BE=，則BF⊥EF，
由BF=DF=，BD=2可知BF⊥DF，
∵EF∩DF=F
∴BF⊥平面DEF；…（7分）
（3）解：取BF中點(diǎn)M，BE中點(diǎn)N，連接AM、MN、AN，
∵AB=BF=AF=，∴AM⊥BF，
又∵M(jìn)N∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，
∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角．
AM=AB=，MN=EF=；
在Rt△APN中，可得AN²=AP²+NP²=，
∴在△AMN中，可得cos∠AMN==-，…（12分）
分析：（1）利用線面平行的判定，證明AF∥EO即可；
（2）利用線面垂直的判定，證明BF⊥EF，BF⊥DF，即可證得BF⊥平面DEF；
（3）取BF中點(diǎn)M，BE中點(diǎn)N，連接AM、MN、AN，則∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角，由此可求二面角A--BF--E的余弦值．
點(diǎn)評：本題考查線面平行、線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．