Question

已知在△ABC中，AB=1，BC=

6

，AC=2，點(diǎn)O為△ABC的外心，若

AO

=s

AB

+t

AC

，則有序?qū)崝?shù)對(duì)（s，t）為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：外心是三角形中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，所以取AB，AC中點(diǎn)M，N，連接OM，ON．由于AB，AC已知，所以可以想著分別在

AO

=s

AB

+t

AC

兩邊乘上

AB

，

AC

便可得到：

AO • AB =s+t AC • AB AO • AC =s AB • AC +4t

（1），要求

AC

•

AB

需求cos∠BAC，而由余弦定理即可求出cos∠BAC．而由圖形可知

AO

•

AB

=AM•AB=

1

2

，

AO

•

AC

=AN•AC=2，然后都帶入（1）中即可得到

1 2 =s- t 2 2=- s 2 +4t

，解該方程組即得s，t．

解答： 解：如圖，∵點(diǎn)O為△ABC的外心，取AB中點(diǎn)M，AC中點(diǎn)N，連接OM，ON，則OM⊥AB，ON⊥AC；
∵

AO

=s

AB

+t

AC

；
∴

AO

•

AB

=s

AB

2+t

AC

•

AB

=s+t

AC

•

AB

；

AO

•

AC

=s

AB

•

AC

+t

AC

2=s

AB

•

AC

+4t；
cos∠BAC=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

1+4-6

4

=-

1

4

；
∴

AB

•

AC

=-

1

2

；
又

AO

•

AB

=AM•AB=

1

2

，

AO

•

AC

=AN•AC=2；
∴得到

1 2 =s- t 2 2=- s 2 +4t

；
解得s=

4

5

，t=

3

5

．
故答案為：（

4

5

，

3

5

）．

點(diǎn)評(píng)：考查三角形外心的概念，向量的數(shù)量積，余弦定理，以及數(shù)形結(jié)合的方法．