Question

【題目】已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，α∈[0，π）．以O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝ρcosθ+2，

（1）若，求直線的極坐標(biāo)方程

（2）若直線與曲線C有唯一公共點(diǎn)，求α

Answer 1

【答案】（1）．（2）α＝0、或

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，再得到直線l的極坐標(biāo)方程.

（2）先將曲線C的極坐標(biāo)方程ρ＝ρcosθ+2，化為直角坐標(biāo)方程y2＝4x+4，再將參數(shù)方程代入y2＝4x+4，化簡(jiǎn)得t2sin2α+2t（sinα﹣2cosα）+1＝0，然后根據(jù)直線l曲線C一公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程t2sin2α+2t（sinα﹣2cosα）+1＝0，α∈[0，π）有唯一解求解.

（1）當(dāng)時(shí)，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），所以直角坐標(biāo)方程為x+y＝0，

由于直線經(jīng)過(guò)極點(diǎn)且傾斜角為，所以直線l的極坐標(biāo)方程．

（2）ρ＝ρcosθ+2，所以ρ2＝（ρcosθ+2）2，

即x2+y2＝（x+2）2，即y2＝4x+4，

將參數(shù)方程代入y2＝4x+4，

化簡(jiǎn)得，t2sin2α+2t（sinα﹣2cosα）+1＝0

因?yàn)橹本�l曲線C一個(gè)公共點(diǎn)，

所以關(guān)于t的方程t2sin2α+2t（sinα﹣2cosα）+1＝0，α∈[0，π）有唯一解

①當(dāng)sin2α＝0即α＝0時(shí)，符合題意；

②當(dāng)cosα≠0時(shí)，[2（sinα﹣2cosα）]2﹣4sin2α＝0，

即cosα（cosα﹣sinα）＝0，

所以cosα＝0或cosα＝sinα，

又α∈[0，π），所以或

綜上，直線l與曲線C唯一公共點(diǎn)時(shí)，α＝0、或