Question

設數列{a_n}前n項和為S_n，且S_n+a_n=2．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n=

3bn-1

bn-1+3

，n≥2 求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）設c_n=

an

bn

，求數列{c_n}的前n和T_n．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）由S_n+a_n=2，得S_n+1+a_n+1=2，兩式相減得到2a_n+1=a_n，故{a_n}是等比數列，繼而求出通項；
（Ⅱ）b_n=

3bn-1

bn-1+3

，轉化為

1

bn

-

1

bn-1

=

1

3

，{

1

bn

}是以1為首項，

1

3

為公差的等差數列，繼而求出通項；
（Ⅲ）利用錯位相減法即可求出數列{c_n}的前n和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n+a_n=2，得S_n+1+a_n+1=2，兩式相減，得2a_n+1=a_n，
∴

an+1

an

=

1

2

（常數），
∴{a_n}是等比數列，
又n=1時，S₁+a₁=2，
∴a₁=1，
∴a_n=

1

2n-1

，
（Ⅱ）由b₁=a₁=1，且n≥2時，b_n=

3bn-1

bn-1+3

，得b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1，
∴

1

bn

-

1

bn-1

=

1

3

，
∴{

1

bn

}是以1為首項，

1

3

為公差的等差數列，
∴

1

bn

=1+

n-1

3

=

n+2

3

，
故b_n=

3

n+2

．
（Ⅲ）設c_n=

an

bn

=

n+2

3

•

1

2n-1

，
∴T_n=

1

3

[3×

1

20

+4×

1

21

+5×

1

22

+…+（n+2）•

1

2n-1

]
∴

1

2

T_n=

1

3

[3×

1

21

+4×

1

22

+…+（n+2）•

1

2n

]
以上兩式相減得，
∴

1

2

T_n=

1

3

[3+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-（n+2）•

1

2n

]=

1

3

[3+

1 2 [1- 1 2n-1 ]

1- 1 2

-（n+2）•

1

2n

]=

1

3

（4+

n+4

2n

），
∴T_n=

8

3

-

n+4

3×2n-1

點評：本題考查了遞推數列的通項公式的求法和錯位相減法求數列的前n項和，培養(yǎng)了學生的轉化能力，運算能力，屬于中檔題