已知函數(shù)(其中a,b為實(shí)常數(shù))。
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),證明:
(Ⅲ)若在區(qū)間上是減函數(shù),設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根為。試問是否存在實(shí)數(shù)m,使得對任意滿足條件的a及t恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由。
(I)當(dāng)a=0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,+∞);
當(dāng)a>0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,0),(a,+∞);f(x)的減區(qū)間為(0,a);
當(dāng)a<0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,a),(0,+∞);f(x)的減區(qū)間為(a,0).
(II)-a<b<a3-a.(III)存在實(shí)數(shù)m滿足條件,此時(shí)m∈[].

試題分析:(I)求導(dǎo)函數(shù),對參數(shù)a進(jìn)行討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)確定f(x)的極大值為f(0)=a+b,f(x)的極小值為f(a)=a+b-a3,要使f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則f(0)>0,f(a)<0,從而得證;
(III)先確定|x1-x2|=,并求得其最小值,假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足條件,則m2+tm+1≤(min,即m2+tm+1≤4,即m2+tm-3≤0在t∈[-1,1]上恒成立,從而可求m的范圍.
解:(I)∵ ,
當(dāng)a=0時(shí),≥0,于是在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時(shí),x∈(0,a),,得在(0,a)上單調(diào)遞減;
x∈(-∞,0)∪(a,+∞),,得在(-∞,0),(a,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a<0時(shí),,,得在(0,a)上單調(diào)遞減;
x∈(-∞,a)∪(0,+∞),在(-∞,a),(0,+∞)上單調(diào)遞增.
綜上所述:當(dāng)a=0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,+∞);
當(dāng)a>0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,0),(a,+∞);f(x)的減區(qū)間為(0,a);
當(dāng)a<0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,a),(0,+∞);f(x)的減區(qū)間為(a,0).……3分
(II)當(dāng)a>0時(shí),由(I)得f(x)在(-∞,0),(a,+∞)上是增函數(shù),f(x)在(0,a)上是減函數(shù);則f(x)的極大值為f(0)=a+b,f(x)的極小值為f(a)=a+b-a3
要使f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則  即可得-a<b<a3-a.…8分
(III)由2x3-3ax2+a+b=x3-2ax2+3x+a+b,得x3-ax2-3x=0即x(x2-ax-3)=0,
由題意得x2-ax-3=0有兩非零實(shí)數(shù)根x1,x2,則x1+x2=a,x1x2=-3,
.∵ f (x)在[1,2]上是減函數(shù),
≤0在[1,2]上恒成立,
其中x-a≤0即x≤a在[1,2]上恒成立,∴ a≥2.∴ ≥4.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足條件,則m2+tm+1≤()min,即m2+tm+1≤4,即m2+tm-3≤0在t∈[-1,1]上恒成立,
    解得
∴ 存在實(shí)數(shù)m滿足條件,此時(shí)m∈[]. …………………14分
點(diǎn)評:解決該試題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對于函數(shù)單調(diào)性的影響得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而分析極值問題,以及構(gòu)造函數(shù)的思想求證函數(shù)的最值,解決恒成立問題的運(yùn)用。
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已知函數(shù)(其中) ,點(diǎn)從左到右依次是函數(shù)圖象上三點(diǎn),且.
(1)證明: 函數(shù)上是減函數(shù);
(2)求證:⊿是鈍角三角形;
(3)試問,⊿能否是等腰三角形?若能,求⊿面積的最大值;若不能,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知函數(shù),
(1)若時(shí),在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),過線段的中點(diǎn)軸的垂線分別交、于點(diǎn),,問是否存在點(diǎn),使處的切線與處的切線平行?若存在,求的橫坐標(biāo),若不存在,請說明理由。

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(本小題滿分分)已知函數(shù)是不同時(shí)為零的常數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),若不等式對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證:函數(shù)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知函數(shù)為常數(shù))。
(Ⅰ)函數(shù)的圖象在點(diǎn)()處的切線與函數(shù)的圖象相切,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)設(shè),若函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若,對于區(qū)間[1,2]內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),,都有
成立,求的取值范圍。

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(本小題滿分14分)
已知,函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求使成立的的集合;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且,則=(  )
A.3  B.C.2D.

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無論值如何變化,函數(shù))恒過定點(diǎn)(  )
A.B.C.D.

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已知函數(shù),且定義域?yàn)椋?,2).
(1)求關(guān)于x的方程+3在(0,2)上的解;
(2)若是定義域(0,2)上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若關(guān)于x的方程在(0,2)上有兩個(gè)不同的解,求k的取值范圍。

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