Question

12．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足xf′（x）-f（x）＞0，當0＜m＜n＜1時，下面選項中最大的一項是（　　）

• A． $\frac{f（{m}^{n}）}{{m}^{n}}$
• B． log_mn•f（log_nm）
• C． $\frac{f（{n}^{m}）}{{n}^{m}}$
• D． log_nm•f（log_mn）

Answer 1

分析 通過構(gòu)造新函數(shù)構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x）得出F（x）在R上是增函數(shù)，得到log_n（m）最大，從而得出答案．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∵xf′（x）-f（x）＞0，
則F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
即F（x）在R上是增函數(shù)，
又由0＜m＜n＜1，知mⁿ，n^m＜1，
而log_m（n）＜log_m（m）=1，
log_n（m）＞log_n（n）=1，
故在mⁿ＜n^m，log_m（n），log_n（m）中l(wèi)og_n（m）最大，
故F（log_n（m））=log_mn•f（log_n^m）最大
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．