Question

如圖，某紙箱廠用矩形硬紙板（PQST）割去四個矩形角，設計為按虛線折疊成的長方體紙箱．其中矩形ABCD為長方體的下底面，兩全等矩形EFNM、HGNM拼成長方體紙箱蓋，設紙箱長AB為x．
（Ⅰ）若長方體紙箱的長、寬、高分別為80cm、50cm、40cm、則硬紙板PQST的長、寬應為多大？
（Ⅱ）若硬紙板PQST的長PT=240cm，寬TS=150cm，按此設計，當紙箱的長AB為何值時，紙箱體積最大？并計算最大體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意：PQ=AB+2H₁A=80+2×40=160（cm），
PT=AD+2AH+2HM=2AD+2AH=2×50+2×40=180（cm）．
（Ⅱ）∵PT=240，PQ=150，AB為x（0＜x＜150），
∴AH=AH₁=（TS-AB）=（150-x）．
∵AD=M₁H+EM，AH=DE，
∴AD=（MM₁-2AH）=（PT-2AH）=[240-（150-x）]=45+x，
∴紙箱體積V（x）=x（150-x）（45+x）=-x³+15x²+3375x．
V′（x）=-x²+30x+3375．
令V′（x）=0，x²-40x-4500=0，解得：x₁=90，x₂=-50（不合題意，舍去）．
當x∈（0，90）時，V′（x）＞0，V（x）是增函數(shù)；
當x∈（90，150）時，V′（x）＜0，V（x）是減函數(shù)，
∴當x=90時，V（x）取到極大值V（90）=243000．
∵V（x）在（0，150）上只有一個極值，所以它是最大值．
∴當紙箱的長AB=90時，紙箱體積最大，最大體積為243000（cm³）．
分析：（Ⅰ）由PQ=AB+2H₁A，PT=AD+2AH+2HM=2AD+2AH，計算可得；
（Ⅱ）設AB為x（0＜x＜150），則AH=AH₁=（TS-AB）=（150-x），AD=（MM₁-2AH）=（PT-2AH）=[240-（150-x）]=45+x，紙箱體積V（x）可表示為x的三次函數(shù)，利用求導法可得所求．
點評：本題考查了長方體模型的實際應用，考查了建立三次函數(shù)解析式，用導數(shù)法求它在定義域上的最值問題，屬于較難題目．