Question

8．在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=3${a}_{n}^{2}$（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₃a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若2T_n＞2013，則n的最小值為（　�。�

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 根據(jù)b_n=log₃a_n=lg3+2lga_n，令lga_n=C_n，C_n+1=2C_n+lg3，化簡(jiǎn)整理：C_n+1+lg3=2（C_n+lg3），求得C₁，寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入求得b_n=log₃a_n=2ⁿ-1，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可解得n的值．

解答 解：a₁=3，a_n+1=3${a}_{n}^{2}$（n∈N^*），
b_n=log₃a_n=lg3+2lga_n，令lga_n=C_n，
C_n+1=2C_n+lg3，
∴C_n+1+lg3=2（C_n+lg3），
C₁=2lg3，
{C_n+lg3}是以2lg3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴C_n+1+lg3=2lg3•2ⁿ，
∴∴C_n=lg3•2ⁿ+lg3
∴l(xiāng)ga_n=lg3•（2ⁿ-1），
a_n=$1{0}^{lg3（{2}^{n}-1）}$，
b_n=log₃a_n=2ⁿ-1，
T_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=2ⁿ⁺¹-1-n，
2T_n＞2013，
2ⁿ⁺²-2-2n＞2013，
解得：n的最小值為9，
故答案選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，過(guò)程復(fù)雜，屬于難題．