Question

已知函數f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（1）若函數f（x）與g（x）的圖象的一個公共點恰好在x軸上，求a的值；
（2）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的兩根，且滿足0＜p＜q＜

1

a

，證明：當x∈（0，p）時，g（x）＜f（x）＜p-a．

Answer 1

分析：（1）令g（x）=0求出x的值，寫出與x軸交點的坐標，將此坐標代入到f（x）解析式中，得到關于a的方程，由a不為0，求出a的值即可；
（2）由p和q是方程f（x）-g（x）=0的兩根，設出f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q），然后根據已知的p與q的范圍，判定得到a（x-p）（x-q）大于0，即可得到f（x）大于g（x）；由f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q），以及g（x）=x-a，表示出f（x），代入f（x）-（p-a）中，因式分解后，判定其積小于0，從而得到f（x）小于p-a，得證．

解答：解：（1）設函數g（x）圖象與x軸的交點坐標為（a，0），（2分）
∵點（a，0）也在函數f（x）的圖象上，∴a³+a²=0．（4分）
而a≠0，∴a=-1． （6分）
（2）由題意可知f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q）．（8分）
當x∈（0，p）時，∵0＜x＜p＜q＜

1

a

，
∴a（x-p）（x-q）＞0，
即當x∈（0，p）時，f（x）-g（x）＞0，即f（x）＞g（x）．（10分）
又f（x）-（p-a）=a（x-p）（x-q）+x-a-（p-a）=（x-p）（ax-aq+1），
當x∈（0，p）時，x-p＜0，且ax-aq+1＞1-aq＞0，
∴f（x）-（p-a）＜0，
∴f（x）＜p-a，
綜上可知，g（x）＜f（x）＜p-a．（14分）

點評：此題考查一次函數及二次函數的圖象與性質，以及不等式的證明．根據題意設出f（x）-g（x）是解本題的關鍵，證明不等式的方法是靈活運用“作差法”．