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16.如圖所示,四棱椎P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠PBA=∠PBC
(1)證明:PB⊥AC
(2)若PB=AB=2,∠ABC=∠PBD=60°,M為PB中點(diǎn),求四面體M-ABC的體積.

分析 (1)設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O,由△ABP≌△CBP得PA=PC,故PO⊥AC,又AC⊥BD,故而AC⊥平面PBD,得出PB⊥AC;
(2)過M作BD的垂線MN,則MN⊥平面ABCD,代入體積公式計(jì)算即可.

解答 證明:(1)連接AC、BD,設(shè)它們相交于點(diǎn)O,連接PO,則O為AC中點(diǎn),
∵AB=BC,∠PBA=∠PBC,PB=PB,
∴△ABP≌△CBP,∴PA=PC,
∴PO⊥AC,
∵底面ABCD為菱形,
∴AC⊥BD,又∵BD?平面PBD,PO?平面PBD,PO∩BD=O,
∴AC⊥平面PBD.∵PB?平面PBD,
∴PB⊥AC.
(2)∵底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,AC=BC=2
{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×{2^2}sin{60°}=\sqrt{3}
過點(diǎn)M作MN⊥BD,垂足為N,
由(1)知NM⊥AC,故MN⊥平面ABCD,
在Rt△MBN中,MN=MBsin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}
四面體M-ABC的體積V=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}×MN=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì),棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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