Question

本小題滿分12分）
如圖，在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點，EF交BD于H。
（1）求二面角B₁—EF—B的正切值；
（2）試在棱B₁B上找一點M，使D₁M⊥平面EFB₁，并證明你的結論.

Answer 1

解：（1）連AC、B₁H，則EF//AC，

∵AC⊥BD，所以BD⊥EF。
∵B₁B⊥平面ABCD，所以B₁H⊥EF，
∴∠B₁HB為二面角B₁—EF—B的平面角。               …………2分
在

故二面角B₁—EF—B的正切值為      …………4分
（2）在棱B₁B上取中點M，連D₁M、C₁M。
∵EF⊥平面B₁BDD₁，
所以EF⊥D₁M。                                        …………6分
在正方形BB₁C₁C中，因為M、F分別為BB₁、BC的中點，
∴B₁F⊥C₁M 又因為D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，所以B₁F⊥D₁C₁，
所以B₁F⊥D₁M，
∴D₁M⊥平面EFB₁                                     …………8分
（3）設D₁M與平面EFB₁交于點N，則D₁N為點D₁到平面EFB₁的距離。
在Rt△MB₁D₁中，                      …………10分

故點D₁到平面EFB₁的距離為                          …………12分
解二：（1）在正方體中，以DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系
則
   ………………2分
設平面EFB₁的一個法向量為

故二面角B₁—EF—B的正切值為               …………6分
（2）設

                       …………12分

略